jednosměrná ANOVA („analýza rozptylu“) porovnává prostředky tří nebo více nezávislých skupin, aby určila, zda existuje statisticky významný rozdíl mezi odpovídajícími populačními prostředky.
tento tutoriál vysvětluje, jak provést jednosměrnou ANOVU ručně.
příklad: jednosměrná ANOVA ručně
Předpokládejme, že chceme vědět, zda tři různé programy přípravy na zkoušku vedou k různým průměrným skóre na určité zkoušce. Abychom to otestovali, přijímáme 30 studentů, aby se zúčastnili studie a rozdělili je do tří skupin.
studenti v každé skupině jsou náhodně přiřazeni k použití jednoho ze tří přípravných programů na zkoušku na další tři týdny k přípravě na zkoušku. Na konci tří týdnů absolvují všichni studenti stejnou zkoušku.
výsledky zkoušek pro každou skupinu jsou uvedeny níže:
pomocí následujících kroků proveďte jednosměrnou ANOVU ručně, abyste zjistili, zda se průměrné skóre zkoušky liší mezi třemi skupinami:
Krok 1: Vypočítejte skupinové prostředky a celkový průměr.
nejprve vypočítáme průměr pro všechny tři skupiny spolu s celkovým průměrem:
Krok 2: vypočítat SSR.
dále vypočítáme regresní součet čtverců (SSR) pomocí následujícího vzorce:
nΣ (Xj-X..) 2
kde:
- n: velikost vzorku skupiny j
- Σ: řecký symbol, který znamená „součet“
- Xj: průměr skupiny j
- X..: celkový průměr
v našem příkladu vypočítáme, že SSR = 10(83.4-85.8)2 + 10(89.3-85.8)2 + 10(84.7-85.8)2 = 192.2
Krok 3: vypočítat SSE.
dále vypočítáme součet chyb čtverců (SSE) pomocí následujícího vzorce:
Σ (Xij-Xj – 2
kde:
- Σ: řecký symbol, který znamená“součet“
- Xij: i. pozorování ve skupině j
- Xj: průměr skupiny j
v našem příkladu vypočítáme SSE takto:
Skupina 1: (85-83.4)2 + (86-83.4)2 + (88-83.4)2 + (75-83.4)2 + (78-83.4)2 + (94-83.4)2 + (98-83.4)2 + (79-83.4)2 + (71-83.4)2 + (80-83.4)2 = 640.4
Skupina 2: (91-89.3)2 + (92-89.3)2 + (93-89.3)2 + (85-89.3)2 + (87-89.3)2 + (84-89.3)2 + (82-89.3)2 + (88-89.3)2 + (95-89.3)2 + (96-89.3)2 = 208.1
Skupina 3: (79-84.7)2 + (78-84.7)2 + (88-84.7)2 + (94-84.7)2 + (92-84.7)2 + (85-84.7)2 + (83-84.7)2 + (85-84.7)2 + (82-84.7)2 + (81-84.7)2 = 252.1
SSE: 640.4 + 208.1 + 252.1 = 1100.6
Krok 4: vypočítat SST.
dále vypočítáme celkový součet čtverců (SST) pomocí následujícího vzorce:
SST = SSR + SSE
v našem příkladu SST = 192.2 + 1100.6 = 1292.8
Krok 5: Vyplňte tabulku ANOVA.
Nyní, když máme SSR, SSE a SST, můžeme vyplnit tabulku ANOVA:
| zdroj | součet čtverců (SS) | df | Střední čtverce (MS) | F |
|---|---|---|---|---|
| léčba | 192.2 | 2 | 96.1 | 2.358 |
| chyba | 1100.6 | 27 | 40.8 | |
| celkem | 1292.8 | 29 |
zde je návod, jak jsme vypočítali různá čísla v tabulce:
- léčba df: k-1 = 3-1 = 2
- chyba df: n-k = 30-3 = 27
- df celkem: n-1 = 30-1 = 29
- léčba RS: léčba SST / df = 192.2 / 2 = 96.1
- chyba MS: chyba SSE / DF = 1100.6 / 27 = 40.8
- F: MS léčba / MS chyba = 96.1 / 40.8 = 2.358
Poznámka: n = celkový počet pozorování, k = počet skupin
Krok 6: interpretujte výsledky.
statistika F testu pro tuto jednosměrnou ANOVU je 2.358. Abychom zjistili, zda se jedná o statisticky významný výsledek, musíme to porovnat s kritickou hodnotou F nalezenou v distribuční tabulce F s následujícími hodnotami:
- α (úroveň významnosti) = 0,05
- DF1 (čitatelské stupně volnosti) = léčba df = 2
- DF2 (jmenovatelské stupně volnosti) = chyba DF = 27
zjistili jsme, že kritická hodnota F je 3.3541.
vzhledem k tomu, že statistika F testu v tabulce ANOVA je menší než kritická hodnota F v distribuční tabulce F, nemůžeme odmítnout nulovou hypotézu. To znamená, že nemáme dostatečné důkazy o tom, že existuje statisticky významný rozdíl mezi průměrnými výsledky zkoušek tří skupin.