Eine Einweg-ANOVA („Varianzanalyse“) vergleicht die Mittelwerte von drei oder mehr unabhängigen Gruppen, um festzustellen, ob es einen statistisch signifikanten Unterschied zwischen den entsprechenden Populationsmitteln gibt.
In diesem Tutorial wird erläutert, wie eine Einweg-ANOVA von Hand durchgeführt wird.
Beispiel: Einweg-ANOVA von Hand
Angenommen, wir möchten wissen, ob drei verschiedene Prüfungsvorbereitungsprogramme zu unterschiedlichen Durchschnittswerten für eine bestimmte Prüfung führen. Um dies zu testen, rekrutieren wir 30 Studenten für die Teilnahme an einer Studie und teilen sie in drei Gruppen auf.
Die Schüler in jeder Gruppe werden nach dem Zufallsprinzip zugewiesen, um eines der drei Prüfungsvorbereitungsprogramme für die nächsten drei Wochen zu verwenden, um sich auf eine Prüfung vorzubereiten. Am Ende der drei Wochen legen alle Schüler die gleiche Prüfung ab.
Die Prüfungsergebnisse für jede Gruppe werden unten angezeigt:
Verwenden Sie die folgenden Schritte, um eine Einweg-ANOVA von Hand durchzuführen, um festzustellen, ob die mittlere Prüfungsnote zwischen den drei Gruppen unterschiedlich ist:
Schritt 1: Berechnen Sie das Gruppenmittel und das Gesamtmittel.
Zuerst berechnen wir den Mittelwert für alle drei Gruppen zusammen mit dem Gesamtmittelwert:
Schritt 2: SSR berechnen.
Als nächstes berechnen wir die Regressionssumme der Quadrate (SSR) mit der folgenden Formel:
nΣ(Xj – X..)2
wobei:
- n: die Stichprobengröße der Gruppe j
- Σ: ein griechisches Symbol, das „Summe“ bedeutet
- Xj: der Mittelwert der Gruppe j
- X..: der Gesamtmittelwert
In unserem Beispiel berechnen wir, dass SSR = 10(83.4-85.8)2 + 10(89.3-85.8)2 + 10(84.7-85.8)2 = 192.2
Schritt 3: Berechnen Sie SSE.
Als nächstes berechnen wir die Fehlersumme der Quadrate (SSE) mit der folgenden Formel:
Σ(Xij – Xj)2
wobei:
- Σ: ein griechisches Symbol, das „Summe“ bedeutet
- Xij: die i-te Beobachtung in Gruppe j
- Xj: der Mittelwert der Gruppe j
In unserem Beispiel berechnen wir SSE wie folgt:
Gruppe 1: (85-83.4)2 + (86-83.4)2 + (88-83.4)2 + (75-83.4)2 + (78-83.4)2 + (94-83.4)2 + (98-83.4)2 + (79-83.4)2 + (71-83.4)2 + (80-83.4)2 = 640.4
Gruppe 2: (91-89.3)2 + (92-89.3)2 + (93-89.3)2 + (85-89.3)2 + (87-89.3)2 + (84-89.3)2 + (82-89.3)2 + (88-89.3)2 + (95-89.3)2 + (96-89.3)2 = 208.1
Gruppe 3: (79-84.7)2 + (78-84.7)2 + (88-84.7)2 + (94-84.7)2 + (92-84.7)2 + (85-84.7)2 + (83-84.7)2 + (85-84.7)2 + (82-84.7)2 + (81-84.7)2 = 252.1
SSE: 640.4 + 208.1 + 252.1 = 1100.6
Schritt 4: Berechnen Sie SST.
Als nächstes berechnen wir die Gesamtsumme der Quadrate (SST) mit der folgenden Formel:
SST = SSR + SSE
In unserem Beispiel SST = 192.2 + 1100.6 = 1292.8
Schritt 5: Füllen Sie die ANOVA-Tabelle aus.
Jetzt, da wir SSR, SSE und SST haben, können wir die ANOVA-Tabelle ausfüllen:
| Quelle | Summe der Quadrate (SS) | df | Mittlere Quadrate (MS) | F |
|---|---|---|---|---|
| Behandlung | 192.2 | 2 | 96.1 | 2.358 |
| Fehler | 1100.6 | 27 | 40.8 | |
| Insgesamt | 1292.8 | 29 |
So haben wir die verschiedenen Zahlen in der Tabelle berechnet:
- df-Behandlung: k-1 = 3-1 = 2
- df-Fehler: n-k = 30-3 = 27
- df gesamt: n-1 = 30-1 = 29
- MS behandlung: SST/df behandlung = 192.2 / 2 = 96.1
- MS fehler: SSE/df fehler = 1100.6 / 27 = 40.8
- F: MS behandlung/MS fehler = 96.1 / 40.8 = 2.358
Hinweis: n = Gesamtbeobachtungen, k = Anzahl der Gruppen
Schritt 6: Interpretieren Sie die Ergebnisse.
Die F-Teststatistik für diese Einweg-ANOVA beträgt 2,358. Um festzustellen, ob dies ein statistisch signifikantes Ergebnis ist, müssen wir dies mit dem kritischen F-Wert in der F-Verteilungstabelle mit den folgenden Werten vergleichen:
- α (Signifikanzniveau) = 0,05
- DF1 (Zähler Freiheitsgrade) = df Fehler = 2
- DF2 (Nenner Freiheitsgrade) = df Fehler = 27
Wir finden, dass der kritische F-Wert 3,3541 beträgt.
Da die F-Teststatistik in der ANOVA-Tabelle kleiner als der kritische F-Wert in der F-Verteilungstabelle ist, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Dies bedeutet, dass wir nicht genügend Beweise haben, um zu sagen, dass es einen statistisch signifikanten Unterschied zwischen den mittleren Prüfungswerten der drei Gruppen gibt.