Une ANOVA unidirectionnelle (« analyse de la variance ») compare les moyennes de trois groupes indépendants ou plus pour déterminer s’il existe une différence statistiquement significative entre les moyennes de population correspondantes.
Ce tutoriel explique comment effectuer une ANOVA unidirectionnelle à la main.
Exemple: ANOVA unidirectionnelle à la main
Supposons que nous souhaitions savoir si trois programmes de préparation à l’examen différents conduisent ou non à des scores moyens différents à un certain examen. Pour tester cela, nous recrutons 30 étudiants pour participer à une étude et les divisons en trois groupes.
Les étudiants de chaque groupe sont assignés au hasard à utiliser l’un des trois programmes de préparation à l’examen pendant les trois prochaines semaines pour se préparer à un examen. À la fin des trois semaines, tous les étudiants passent le même examen.
Les résultats de l’examen pour chaque groupe sont indiqués ci-dessous:
Utilisez les étapes suivantes pour effectuer une ANOVA unidirectionnelle à la main afin de déterminer si le score moyen à l’examen est différent entre les trois groupes :
Étape 1: Calculez les moyennes de groupe et la moyenne globale.
Tout d’abord, nous calculerons la moyenne pour les trois groupes ainsi que la moyenne globale:
Étape 2: Calculez Le SSR.
Ensuite, nous calculerons la somme de régression des carrés (SSR) en utilisant la formule suivante:
nΣ (Xj–X..) 2
où:
- n: la taille de l’échantillon du groupe j
- Σ: un symbole grec qui signifie « somme »
- Xj: la moyenne du groupe j
- X..: la moyenne globale
Dans notre exemple, nous calculons que SSR = 10(83.4-85.8)2 + 10(89.3-85.8)2 + 10(84.7-85.8)2 = 192.2
Étape 3: Calculez l’ESS.
Ensuite, nous calculerons la somme d’erreur des carrés (SSE) en utilisant la formule suivante:
Σ(Xij–Xj) 2
où:
- Σ: un symbole grec qui signifie « somme »
- Xij: la i observation dans le groupe j
- Xj: la moyenne du groupe j
Dans notre exemple, nous calculons SSE comme suit:
Groupe 1: (85-83.4)2 + (86-83.4)2 + (88-83.4)2 + (75-83.4)2 + (78-83.4)2 + (94-83.4)2 + (98-83.4)2 + (79-83.4)2 + (71-83.4)2 + (80-83.4)2 = 640.4
Groupe 2: (91-89.3)2 + (92-89.3)2 + (93-89.3)2 + (85-89.3)2 + (87-89.3)2 + (84-89.3)2 + (82-89.3)2 + (88-89.3)2 + (95-89.3)2 + (96-89.3)2 = 208.1
Groupe 3: (79-84.7)2 + (78-84.7)2 + (88-84.7)2 + (94-84.7)2 + (92-84.7)2 + (85-84.7)2 + (83-84.7)2 + (85-84.7)2 + (82-84.7)2 + (81-84.7)2 = 252.1
ESS: 640.4 + 208.1 + 252.1 = 1100.6
Étape 4: Calculez SST.
Ensuite, nous calculerons la somme totale des carrés (SST) en utilisant la formule suivante:
SST = SSR + SSE
Dans notre exemple, SST = 192.2 + 1100.6 = 1292.8
Étape 5: Remplissez le tableau ANOVA.
Maintenant que nous avons SSR, SSE et SST, nous pouvons remplir la table ANOVA:
| Source | Somme des carrés (SS) | df | Carrés moyens (MS) | F |
|---|---|---|---|---|
| Traitement | 192.2 | 2 | 96.1 | 2.358 |
| Erreur | 1100.6 | 27 | 40.8 | |
| Total | 1292.8 | 29 |
Voici comment nous avons calculé les différents nombres dans le tableau:
- traitement df: k-1 = 3-1 = 2
- erreur df : n-k = 30-3 = 27
- df total: n-1 = 30-1 = 29
- Traitement de la SEP: traitement SST / df = 192.2 / 2 = 96.1
- Erreur MS: erreur SSE /df = 1100.6 / 27 = 40.8
- F: Traitement MS / erreur MS = 96.1 / 40.8 = 2.358
Remarque: n = observations totales, k = nombre de groupes
Étape 6: Interpréter les résultats.
La statistique de test F pour cette ANOVA unidirectionnelle est de 2,358. Pour déterminer s’il s’agit d’un résultat statistiquement significatif, nous devons le comparer à la valeur critique de F trouvée dans le tableau de distribution de F avec les valeurs suivantes:
- α (niveau de signification) = 0,05
- DF1 (degrés de liberté au numérateur) = traitement df = 2
- DF2 (degrés de liberté au dénominateur) = erreur df = 27
Nous constatons que la valeur critique de F est 3,3541.
Puisque la statistique de test F dans la table ANOVA est inférieure à la valeur critique F dans la table de distribution F, nous ne rejetons pas l’hypothèse nulle. Cela signifie que nous n’avons pas suffisamment de preuves pour affirmer qu’il existe une différence statistiquement significative entre les notes moyennes à l’examen des trois groupes.