Un ANOVA a senso unico (“analisi della varianza”) confronta i mezzi di tre o più gruppi indipendenti per determinare se esiste una differenza statisticamente significativa tra i corrispondenti mezzi di popolazione.
Questo tutorial spiega come eseguire un ANOVA a senso unico a mano.
Esempio: ANOVA a senso unico a mano
Supponiamo di voler sapere se tre diversi programmi di preparazione agli esami portano a punteggi medi diversi su un determinato esame. Per testare questo, reclutiamo studenti 30 per partecipare a uno studio e li dividiamo in tre gruppi.
Gli studenti di ogni gruppo sono assegnati in modo casuale per utilizzare uno dei tre programmi di preparazione all’esame per le prossime tre settimane per preparare un esame. Alla fine delle tre settimane, tutti gli studenti sostengono lo stesso esame.
I punteggi degli esami per ciascun gruppo sono riportati di seguito:
Utilizzare i seguenti passaggi per eseguire un ANOVA unidirezionale a mano per determinare se il punteggio medio dell’esame è diverso tra i tre gruppi:
Passaggio 1: Calcola le medie di gruppo e la media complessiva.
In primo luogo, calcoleremo la media per tutti e tre i gruppi insieme alla media complessiva:
Passo 2: Calcola SSR.
Successivamente, calcoleremo la somma di regressione dei quadrati (SSR) usando la seguente formula:
nΣ(Xj – X..) 2
dove:
- n: la dimensione del campione del gruppo j
- Σ: un simbolo greco che significa”somma”
- Xj: la media del gruppo j
- X..: la media complessiva
Nel nostro esempio, calcoliamo che SSR = 10(83.4-85.8)2 + 10(89.3-85.8)2 + 10(84.7-85.8)2 = 192.2
Passo 3: Calcola SSE.
a quel punto, calcoliamo la somma dei quadrati degli errori (SSE) utilizzando la seguente formula:
Σ(Xij – Xj)2
dove:
- S: un simbolo greco che significa “somma”
- Xij: la i-esima osservazione nel gruppo j
- Xj: la media del gruppo j
Nel nostro esempio, possiamo calcolare SSE come segue:
Gruppo 1: (85-83.4)2 + (86-83.4)2 + (88-83.4)2 + (75-83.4)2 + (78-83.4)2 + (94-83.4)2 + (98-83.4)2 + (79-83.4)2 + (71-83.4)2 + (80-83.4)2 = 640.4
Gruppo 2: (91-89.3)2 + (92-89.3)2 + (93-89.3)2 + (85-89.3)2 + (87-89.3)2 + (84-89.3)2 + (82-89.3)2 + (88-89.3)2 + (95-89.3)2 + (96-89.3)2 = 208.1
Gruppo 3: (79-84.7)2 + (78-84.7)2 + (88-84.7)2 + (94-84.7)2 + (92-84.7)2 + (85-84.7)2 + (83-84.7)2 + (85-84.7)2 + (82-84.7)2 + (81-84.7)2 = 252.1
SSE: 640.4 + 208.1 + 252.1 = 1100.6
Passo 4: Calcolare SST.
Successivamente, calcoleremo la somma totale dei quadrati (SST) usando la seguente formula:
SST = SSR + SSE
Nel nostro esempio, SST = 192.2 + 1100.6 = 1292.8
Punto 5: Compila la tabella ANOVA.
Ora che abbiamo SSR, SSE, e SST, siamo in grado di compilare la tabella ANOVA:
| Fonte | Somma dei Quadrati (SS) | df | Media Piazze (MS) | F |
|---|---|---|---|---|
| Trattamento | 192.2 | 2 | 96.1 | 2.358 |
| Errore | 1100.6 | 27 | 40.8 | |
| Totale | 1292.8 | 29 |
Ecco come abbiamo calcolato i vari numeri nella tabella:
- df trattamento: k-1 = 3-1 = 2
- df errore: n-k = 30-3 = 27
- df totale: n-1 = 30-1 = 29
- sm: SST / df trattamento = 192.2 / 2 = 96.1
- MS errore: SSE / df errore = 1100.6 / 27 = 40.8
- F: sm / MS errore = 96.1 / 40.8 = 2.358
Nota: n = numero totale di osservazioni, k = numero di gruppi
Passo 6: Interpretare i risultati.
La statistica del test F per questo ANOVA a senso unico è 2.358. Per determinare se questo è un risultato statisticamente significativo, si deve confrontare questo F critica valore trovato nella distribuzione F tabella con i seguenti valori:
- α (livello di significatività) = 0.05
- DF1 (numeratore gradi di libertà) = df trattamento = 2
- DF2 (denominatore gradi di libertà) = df errore = 27
Troviamo che F valore critico è 3.3541.
Poiché la statistica del test F nella tabella ANOVA è inferiore al valore critico F nella tabella di distribuzione F, non riusciamo a rifiutare l’ipotesi nulla. Ciò significa che non abbiamo prove sufficienti per affermare che esiste una differenza statisticamente significativa tra i punteggi medi degli esami dei tre gruppi.