jednokierunkowa ANOVA („analiza wariancji”) porównuje środki trzech lub więcej niezależnych grup, aby określić, czy istnieje statystycznie istotna różnica między odpowiednimi środkami populacyjnymi.
ten samouczek wyjaśnia, jak ręcznie wykonać jednokierunkową ANOVĘ.
przykład: jednokierunkowa ANOVA ręcznie
Załóżmy, że chcemy wiedzieć, czy trzy różne programy przygotowawcze do egzaminu prowadzą do różnych średnich wyników na określonym egzaminie. Aby to sprawdzić, rekrutujemy 30 uczniów do udziału w badaniu i dzielimy ich na trzy grupy.
uczniowie w każdej grupie są losowo przydzielani do korzystania z jednego z trzech programów przygotowawczych do egzaminu przez następne trzy tygodnie, aby przygotować się do egzaminu. Pod koniec trzech tygodni wszyscy uczniowie przystępują do tego samego egzaminu.
poniżej przedstawiono wyniki egzaminów dla każdej grupy:
wykonaj następujące kroki, aby ręcznie wykonać jednokierunkową ANOVA, aby określić, czy średni wynik egzaminu różni się między trzema grupami:
Krok 1: Oblicz średnią grupową i średnią ogólną.
najpierw obliczymy średnią dla wszystkich trzech grup wraz ze średnią ogólną:
Krok 2: Oblicz SSR.
następnie obliczymy sumę regresji kwadratów(SSR) za pomocą następującego wzoru:
nΣ (Xj – X..) 2
gdzie:
- n: wielkość próby grupy j
- Σ: Grecki symbol oznaczający „sumę”
- Xj: średnia grupy j
- X..: średnia ogólna
w naszym przykładzie obliczamy, że SSR = 10(83.4-85.8)2 + 10(89.3-85.8)2 + 10(84.7-85.8)2 = 192.2
Krok 3: Oblicz SSE.
następnie obliczymy sumę błędów kwadratów (SSE) za pomocą następującego wzoru:
Σ(Xij – Xj)2
gdzie:
- Σ: Grecki symbol oznaczający „sumę”
- Xij: i-ta obserwacja w grupie j
- Xj: średnia z grupy j
w naszym przykładzie obliczamy SSE w następujący sposób:
Grupa 1: (85-83.4)2 + (86-83.4)2 + (88-83.4)2 + (75-83.4)2 + (78-83.4)2 + (94-83.4)2 + (98-83.4)2 + (79-83.4)2 + (71-83.4)2 + (80-83.4)2 = 640.4
Grupa 2: (91-89.3)2 + (92-89.3)2 + (93-89.3)2 + (85-89.3)2 + (87-89.3)2 + (84-89.3)2 + (82-89.3)2 + (88-89.3)2 + (95-89.3)2 + (96-89.3)2 = 208.1
Grupa 3: (79-84.7)2 + (78-84.7)2 + (88-84.7)2 + (94-84.7)2 + (92-84.7)2 + (85-84.7)2 + (83-84.7)2 + (85-84.7)2 + (82-84.7)2 + (81-84.7)2 = 252.1
SSE: 640.4 + 208.1 + 252.1 = 1100.6
Krok 4: Oblicz SST.
następnie obliczymy całkowitą sumę kwadratów (SST) za pomocą następującego wzoru:
SST = SSR + SSE
w naszym przykładzie, SST = 192.2 + 1100.6 = 1292.8
Krok 5: Wypełnij tabelę ANOVA.
teraz, gdy mamy SSR, SSE i SST, możemy wypełnić tabelę ANOVA:
| źródło | suma kwadratów (SS) | df | Średnia kwadratów (MS) | F |
|---|---|---|---|---|
| leczenie | 192.2 | 2 | 96.1 | 2.358 |
| błąd | 1100.6 | 27 | 40.8 | |
| ogółem | 1292.8 | 29 |
oto jak obliczyliśmy różne liczby w tabeli:
- leczenie df: k-1 = 3-1 = 2
- błąd df: n-k = 30-3 = 27
- DF razem: n-1 = 30-1 = 29
- leczenie SM: leczenie SST / DF = 192.2 / 2 = 96.1
- błąd MS: błąd SSE / DF = 1100.6 / 27 = 40.8
- f: leczenie MS / błąd MS = 96.1 / 40.8 = 2.358
Uwaga: N = całkowite obserwacje, k = liczba grup
Krok 6: interpretacja wyników.
statystyka testu F dla tej jednokierunkowej ANOVA wynosi 2,358. Aby określić, czy jest to statystycznie istotny wynik, musimy porównać go z wartością krytyczną f znajdującą się w tabeli rozkładu F z następującymi wartościami:
- α (poziom istotności) = 0,05
- DF1 (licznik stopni swobody) = DF2
- DF2 (mianownik stopni swobody) = DF błąd = 27
wartość krytyczna F wynosi 3,3541.
ponieważ statystyka testu F w tabeli ANOVA jest mniejsza niż wartość krytyczna F w tabeli rozkładu F, nie możemy odrzucić hipotezy zerowej. Oznacza to, że nie mamy wystarczających dowodów, aby powiedzieć, że istnieje statystycznie istotna różnica między średnimi wynikami egzaminów w trzech grupach.